28-летний Помазан является воспитанником краснодарской «Кубани», в составе которой дебютировал в профессиональном футболе. В составе юношеской сборной в 2006 году Евгений стал победителем первенства Европы и был признан лучшим футболистом турнира.
На клубном уровне голкипер играл за столичный «ЦСКА», «Урал» (Екатеринбург), «Спартак» (Нальчик), «Анжи» (Махачкала), а в прошлом году вернулся в родную «Кубань». Помазан является бронзовым призером чемпионата России и обладателем кубка страны в составе «ЦСКА», бронзовым призером чемпионата и финалистом кубка в составе «Анжи» и финалистом кубка в составе «Кубани».
Как сообщает пресс-служба клуба, в «Балтику» Евгений Помазан перешел на правах свободного агента и заключил контракт на один год.